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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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11. La función f(x)=ax+1nf(x)=\sqrt[n]{a x+1} tiene como polinomio de Taylor de orden 2 en x=0x=0 a p(x)=1+5x−752x2p(x)=1+5 x-\frac{75}{2} x^{2}. Halle los valores de aa y de nn.

Respuesta

Este problema lo vamos a resolver usando razonamientos similares a los que vimos en el Ejercicio 9. Para que pp efectivamente sea el polinomio de Taylor de ff en x=0x=0, se tiene que cumplir que:

f(0)=p(0)f(0) = p(0)

f′(0)=p′(0)f'(0) = p'(0)

f′′(0)=p′′(0)f''(0) = p''(0)

Entonces, vamos a plantear estas relaciones y esperamos obtener condiciones para aa y nn para que se cumplan estas igualdades :)

👉 f(0)=p(0)f(0) = p(0)

Si evaluamos tanto ff como el polinomio en x=0x=0, vemos que ambos valen 11, sin importar quién sea aa y nn. Por lo tanto, de esta igualdad no obtenemos ninguna información.

Aclaración por si estas dudando con eso: Cualquier raíz de 11 siempre da 11 :)

👉 f′(0)=p′(0)f'(0) = p'(0)

Para derivar ff primero nos conviene tenerla escrita así:

f(x)= (ax+1)1nf(x) = (ax+1)^{\frac{1}{n}}

Y ahora derivamos con las reglas que usamos para polinomios, nos queda:

f′(x)=1n(ax+1)1n−1⋅af'(x) = \frac{1}{n}(ax+1)^{\frac{1}{n}-1} \cdot a

Evaluamos en x=0x=0

f′(0)=1n⋅a f'(0) = \frac{1}{n} \cdot a

Dado que p′(x)=5−75x p'(x) = 5 - 75x , entonces p′(0)=5 p'(0) = 5 . Por lo tanto, planteando la igualdad:

1n⋅a=5 \frac{1}{n} \cdot a = 5

a=5na = 5n

Bueno, acá tenemos una primera relación entre aa y nn. Veamos qué información nos aporta ahora la derivada segunda:

👉 f′′(0)=p′′(0)f''(0) = p''(0)

Calculamos ahora la derivada segunda de ff

f′′(x)= 1n⋅(1n−1)⋅ (ax+1)1n−2⋅a2f''(x) = \frac{1}{n} \cdot (\frac{1}{n}-1) \cdot (ax+1)^{\frac{1}{n}-2} \cdot a^2

Evaluamos en x=0x=0

f′′(0)= 1n⋅(1n−1)⋅a2f''(0) = \frac{1}{n} \cdot (\frac{1}{n}-1) \cdot a^2

Dado que p′′(x)=−75 p''(x) = -75 , tenemos que p′′(0)=−75 p''(0) = -75 . Por lo tanto, igualando nos queda:

1n⋅(1n−1)⋅a2=−75\frac{1}{n} \cdot (\frac{1}{n}-1) \cdot a^2 = -75

Expresamos lo del paréntesis como una única fracción, después hacemos distributiva y nos queda:

1−nn2⋅a2=−75\frac{1-n}{n^2} \cdot a^2 = -75

Despejamos aa

a2=−75n21−na^2 = \frac{-75n^2}{1-n}

Y ahora usamos que a=5na = 5n

(5n)2=−75n21−n(5n)^2 = \frac{-75n^2}{1-n}

25n2= −75n21−n25n^2 = \frac{-75n^2}{1-n}

25=−751−n25 = \frac{-75}{1-n}

25⋅(1−n)=−7525 \cdot (1-n) = -75

1−n=−31 - n = -3

n=4n = 4

Buenísimoooo, ya tenemos nn. Entonces ya podemos saber quién es aa usando que a=5na = 5n, por lo tanto:

a=5⋅4=20a = 5 \cdot 4 = 20

Por lo tanto, los valores de a a y n n que cumplen con las condiciones dadas son a=20 a = 20 y n=4 n = 4 .
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